Derivata come limite del rapporto incrementale: definizione

Secondo la matematica tradizionale, la derivata di una funzione in un suo punto “Xo” equivale, infinitesimamente, al rapporto incrementale [f(Xo + h) – f(Xo)]/h

con “h” inteso come “Delta x”, ovvero la differenza tra l’ascissa dell’estremo superiore, in verso x, del segmento di dimensione “h”, costruito a partire da “Xo” e il punto di estremo inferiore “Xo” medesimo

ed “[f(Xo + h) – f(Xo)]” inteso come

“Delta y”, con “f(Xo + h)” ed “f(X)” considerate rispettivamente come le immagini sull’asse delle ordinate dei due punti di estremo a denominatore, con h tendente a 0.

In questi termini, ipotizzando una retta secante alla funzione precisamente nei punti di ordinata “f(Xo + h)” e “f(Xo)”, considerati come le intersezioni della funzione medesima con gli estremi dell’intervallo “x” chiuso e derivabile in cui è analizzata, nell’istante in cui h tende infinitesimamente a 0, la retta diviene tangente alla funzione nel punto “Xo”. Il coefficiente angolare di tale retta, nel momento di tangenza, viene definito come il valore numerico della derivata prima della funzione in tal punto.

Nel caso h si eguagliasse a 0, la retta si separerebbe dalla funzione, allontanandosi esternamente.
Ipotizziamo ,ora, lungo l’asse delle ascisse, al posto di costruire in verso “x” un segmento “h” a partire dal punto “Xo”, di impostare un intorno circolare del punto “Xo”, di dimensione “2h”, costruendo, a partire dal punto “Xo”, lungo l’asse x, un segmento “h” in direzione -oo ed un altro della stessa lunghezza in direzione +oo.
In questo modo, il rapporto incrementale risulterà [f(Xo + h) – f(Xo – h)] / 2h

Se nel primo caso, la retta secante, al tendere di h a 0, diventa tangente al punto “Xo” ruotando se stessa, poichè un estremo risulta un vincolo fisso e l’altro è mobile, nel secondo caso, presentandosi a priori un intorno circolare del punto “Xo”, dunque due distanze “h” equivalenti lungo l’asse x, la retta secante diventa tangente non solo ruotando se stessa, bensì anche variando in ordinata il proprio grafico, il cui coefficiente angolare sarà, sul finire del movimento, quello della retta tangente al punto “Xo”, (solo ed unico secondo il teorema di Lagrange).

A mio parere, questa seconda impostazione risulta la più completa per definire algebricamente il concetto di derivata, poichè, se nel primo caso il coefficiente angolare della retta tangente al punto “Xo” si ricava esattamente nell’infinitesimo istante finale del ciclo che impone ad “h” di tendere a 0, infinitesimamente dopo che la retta da secante diventa tangente alla funzione nel punto “Xo” ed infinitesimamente prima che la retta da tangente al punto “Xo” diventi esterna alla funzione, nel secondo caso, nella fase finale del ciclo, l’inclinazione della retta tangente si è già stabilizzata nell’ordine di grandezza di quella della futura retta tangente al punto “Xo”, presi a campione statisticamente infiniti punti “Xo” lungo il grafico della funzione e, in quest’ottica, in termini di ricorrenze statistiche, nel penultimo istante prima che la retta da secante diventi tangente al punto a campione considerato, il coefficiente angolare della retta tangente si avvicinerà infinitesimamente di più a quello della retta tangente nella seconda definizione esaminata rispetto alla prima.

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