La programmazione lineare è uno degli argomenti più importanti del corso di matematica economica delle scuole superiori e universitarie ed in questo video proviamo a riassumerne le tappe fondamentali, passo per passo, in maniera semplice e schematica.
Il professor Nicolò Vignatavan, docente di scienze matematiche applicate, espone i punti chiave per risolvere un esercizio generico di programmazione lineare in due variabili
PUNTI CHIAVE PER LA RISOLUZIONE:
RAPPRESENTAZIONE delle DISEQUAZIONI LINEARI sul PIANO CARTESIANO:
Il primo punto da svolgere è la rappresentazione grafica delle funzioni lineari rette associate alle disequazioni di partenza assegnate dall’esercizio, trasformate opportunamente nelle rispettive equazioni associate. Le disequazioni di partenza comprendono i cosiddetti VINCOLI GENERICI (riferiti agli assi cartesiani) e i VINCOLI SPECIFICI dell’esercizio.
[Al minuto 04.55 del video]
RAPPRESENTAZIONE delle AREE di SOLUZIONE dei VINCOLI GENERICI e SPECIFICI:
Per ogni disequazione, che sia legata ad un vincolo generico o ad un vincolo specifico, occorre ora andare a “colorare” sul piano cartesiano le aree di soluzione associate, considerando il segno della nostra disequazione. Ricordiamo come i vincoli generici siano riferiti all’esistenza delle soluzioni solo in alcuni quadranti del piano cartesiano, mentre i vincoli specifici sono legati alla specifica traccia dell’esercizio.
[Al minuto 07.51 del video]
RAPPRESENTAZIONE del POLIGONO CONVESSO delle SOLUZIONI:
Rappresentate le aree di soluzione riferite alle disequazioni dei vincoli, occorre ora riconoscere quale area finita sia l’unica intersecata dalle soluzioni di TUTTE le disequazioni: questa area risulta quella di un POLIGONO convesso, il cosiddetto poligono convesso delle soluzioni. Esso viene definito convesso poichè il prolungamento dei suoi lati non lo trapassano mai.
[Al minuto 08.40 del video]
CALCOLO del MASSIMO/MINIMO delle SOLUZIONI mediante metodo ALGEBRICO o GRAFICO:
A questo punto, per riconoscere il massimo ed il minimo tra le soluzioni del nostro esercizio abbiamo dinnanzi a noi due strade: il metodo algebrico e quello grafico. Il metodo algebrico consiste nell’andare a sostituire nella nostra funzione obiettivo, data dalla traccia del nostro esercizio, le coordinate di un vertice del poligono alla volta e, quindi, nel valutare quali risulteranno i valori massimo e minimo di z. Il metodo grafico, da cui si ricavano le medesime soluzioni, consiste nel tracciare la retta rappresentante la funzione obiettivo e costruirne le parallele nel verso del vettore unitario z: il primo punto che si andrà ad incontrare risulterà il valor minimo e l’ultimo punto che si andrà ad incontrare risulterà il valor massimo della funzione.
[Al minuto 11.48 del video]
RICONOSCIMENTO della SOLUZIONE della FUNZIONE OBIETTIVO
Siamo al punto finale del nostro esercizio: una volta riconosciuti i valori massimo e/o minimo della funzione z, occorre dunque andarli ad evidenziare sul nostro piano cartesiano, sui Vertici per così dire “pilota” del nostro poligono convesso.
[Al minuto 16.13 del video]
Nicolò Vignatavan 